KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Egyenáramú hálózatok

9. lecke: Szuperpozíció tétele

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| saját szavaival megfogalmazni a szuperpozíció tételét; alkalmazni a szuperpozíció tételét számítási feladatok megoldása során.
| Tananyag
| Ha a hálózatunk több generátort tartalmaz, akkor használhatjuk a keresett feszültségek és áramok kiszámítására a szuperpozíció tételt. A hálózatban található generátorokat külön-külön, egyenként vesszük figyelembe és ezáltal részeredményeket kapunk. Valamely keresett feszültség vagy áram értékét úgy számítjuk ki, hogy a részeredmények előjelhelyes összegét képezzük. Ez utóbbi lépés a tulajdonképpeni szuperpozíció.
| Ahhoz, hogy egy generátor hatását külön tudjuk számítani, az összes többi generátort helyettesíteni, szakkifejezéssel dezaktivizálni kell. A hálózati elemek jellemzésénél megállapítottuk, hogy szélső esetben egy rövidzár tekinthető egy nulla voltos feszültséggenerátornak és egy szakadás egy nulla amperes áramgenerátornak. Ez a dezaktivizálás alapja (9.1. ábra). Természetesen speciális esetben az előbbitől eltérhetünk, ha két vagy három generátor hatása együtt is könnyen számítható. A fontos csak az, hogy a hálózatban található valamennyi generátort egyszer és csakis egyszer vegyük figyelembe.
9.1. ábra
| A szuperpozíció tétel csak akkor alkalmazható, ha a hálózatunk lineáris. Ez egyenáramú hálózatban akkor teljesül, ha a benne található valamennyi passzív elem Ohm törvényének eleget tesz, tehát lineáris, ohmos ellenállás. Eddig kizárólag ilyen eseteket tárgyaltunk.
| (Megjegyzés: az ohmos ellenállás feszültség-áram karakterisztikája egy origón átfutó ferde egyenes. A karakterisztikát nem szokás megrajzolni, hanem elegendő azt a meredekségével, azaz az ellenállás értékével jellemeznünk. Nemlineáris elem esetén a görbe érintőjének a meredeksége pontról pontra változik. Nemlineáris elemek például a félvezető eszközök, a diódák, tranzisztorok, tirisztorok. A gyártók ezeket vastag katalógusokban megadott, részletes feszültség-áram karakterisztikákkal jellemzik.)
| A szuperpozíció tétel az összetett hálózatot több egyszerű részhálózatra bontja. Így a megoldás egyszerűbb, de hosszadalmasabb lesz, mint az összetett hálózatot közvetlenül kezelő módszereké. Szuperpozíció alkalmazása a bonyolultabb hálózatok esetén előnyös inkább.
| Vizsgáljuk meg egy példán keresztül a tétel alkalmazását!

|  | 9.1. példa: Tekintsük az 9.2. ábrán látható kapcsolást!
9.2. ábra
| U g =100 V I g =1 A R 1 = R 2 = R 3 =100 Ω
| 1. eset: A feszültséggenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük az áramgenerátort szakadással (9.3. ábra)!
9.3. ábra
| Vegyük fel a keresett három feszültség nyílirányát a kiinduló feladatban megadottal azonosan! Különböztessük meg a részfeszültségeket és a részáramot felső vesszővel az eredeti kapcsolásbeli értékektől.
| Az R 2 ellenálláson nem folyik áram, mert szakadás kapcsolódik vele sorosan.
| I ′ 2 =0 A, U ′ 2 = I ′ 2 ⋅ R 2 =0 V
| R 1 és R 3 feszültségosztónak tekinthető, áramuk azonos, mivel I ′ 2 értéke nulla.
| U ′ 1 = U g ⋅ R 1 R 1 + R 3 =100 V⋅ 100 Ω 100 Ω+100 Ω =100 V⋅ 100 Ω 200 Ω =50 V
| U ′ 3 = U g ⋅ R 3 R 1 + R 3 =100 V⋅ 100 Ω 100 Ω+100 Ω =100 V⋅ 100 Ω 200 Ω =50 V
| 2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral (9.4. ábra)!
9.4. ábra
| Vegyük fel a keresett három feszültség nyílirányát ismét a kiinduló feladatban megadottal azonosan! Különböztessük meg a részfeszültségeket és a részáramokat két felső vesszővel a korábbi jelölésektől.
| Az R 2 ellenállás árama az áramgenerátor áramával megegyezik.
| I ″ 2 = I g , U ″ 2 = I ″ 2 ⋅ R 2 = I g ⋅ R 2 =1 A⋅100 Ω=100 V
| R 1 és R 3 párhuzamosan vannak kapcsolva, áramosztót képeznek.
| I ″ 1 = I ″ 2 ⋅ R 3 R 1 + R 3 = I g ⋅ R 3 R 1 + R 3 =1 A⋅ 100 Ω 100 Ω+100 Ω =1 A⋅ 100 Ω 200 Ω =0,5 A
| I ″ 3 = I ″ 2 ⋅ R 1 R 1 + R 3 = I g ⋅ R 1 R 1 + R 3 =1 A⋅ 100 Ω 100 Ω+100 Ω =1 A⋅ 100 Ω 200 Ω =0,5 A
| Ohm törvénye alapján: U ″ 3 = I ″ 3 ⋅ R 3 =0,5 A⋅100 Ω=50 V
| Az R 1 ellenálláson a feszültség és az áram iránya ellentétes, ezért
| U ″ 1 =− I ″ 1 ⋅ R 1 !
| Behelyettesítve
| U ″ 1 =−0,5 A⋅100 Ω=−50 V .
| Szuperpozíció: Összegezzük előjelhelyesen a részeredményeket! Most élvezzük annak előnyét, hogy mindkét esetben és mindhárom feszültségre következetesen az eredeti irányokat megtartottuk. Ezért valamennyi részfeszültséget pozitív előjellel kell szerepeltetnünk.
| U 1 = U ′ 1 + U ″ 1 =50 V−50 V=0 V U 2 = U ′ 2 + U ″ 2 =0 V+100 V=100 V U 3 = U ′ 3 + U ″ 3 =50 V+50 V=100 V
| Értékelés:
| Némileg váratlan, hogy az R 1 ellenállás feszültsége nulla, de az ellenőrzés ezt alátámasztja:
| U g és U 3 azonos, 100 V értékű és R 1 felől nézve ellentétesek. Az eredőjük valóban nulla. R 1 kapcsai között nincs feszültségkülönbség: az A és B pontok "ekvipotenciálisak". Jó tudni, hogy ha egy ellenállás ilyen helyzetbe kerül, akkor elvehetjük, azaz szakadással helyettesíthetjük, rövidre zárhatjuk, illetve értékét tetszőlegesre módosíthatjuk anélkül, hogy a kapcsolás többi elemének villamos állapota megváltozna. Példánkban ez azt jelenti, hogy a feszültséggenerátor árammentes, az R 2 , az R 3 és az áramgenerátor árama 1 A . Némi megfontolás után belátható, hogy R 1 változása ezen áramokra nincs hatással.
| Végeredményünket alátámasztja a következő gondolatmenet is. Áramgenerátorral sorosan kapcsolt ellenállás árama a generátor áramával, feszültséggenerátorral párhuzamosan kapcsolt ellenállás feszültsége a generátor feszültségével megegyezik. Ezekre az esetekre a szuperpozíció alkalmazása mellőzhető. Példánkban az R 2 árama, és ezzel feszültsége is így ellenőrizhető, és helyes.
| A szuperpozíció egy további előnyét is érdemes tanulmányozni. A részeredményeket fizikai tartalommal ugyan nem ruházhatjuk fel, de számítási eljárásunkban sajátos tulajdonságuk van. Valamely generátor megváltozása ugyanis csak azon részeredmények értékére van hatással, amelyeket az adott generátor figyelembevételével számítottunk. A többi részeredmény számításánál az adott generátor dezaktivizált, passzív.
| 9.2. példa: Hogyan változnak meg az eredmények az előző példánkban, ha az áramgenerátor kapcsait felcseréljük?
| Egy olyan egygenerátoros kapcsolásban, mint amilyen a szuperpozíció tétel alapján végzett részszámításaink során is szerepel, érvényes a következő szabály. A kapcsolás valamennyi árama és feszültsége a generátor jellemzőjének megváltoztatását arányosan követi. Ha a tápláló generátor forrásfeszültségét vagy forrásáramát kétszer, háromszor, négyszer nagyobb értékűre választjuk, akkor a kapcsolás valamennyi feszültsége és árama is kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére nő. (Megjegyzés: az állítás azért igaz, mert lineáris a hálózatunk.) Példánkban a generátor kapcsainak felcserélése egyenértékű I g értékének előjelváltásával. A generátor áramának előjelváltása pedig a hálózat valamennyi feszültségének és áramának előjelváltását eredményezi. Az előző példa 2. esete részeredményeinek előjelváltásával a végeredmény:
| U 1 = U ′ 1 − U ″ 1 =50 V+50 V=100 V U 2 = U ′ 2 − U ″ 2 =0 V−100 V=−100 V U 3 = U ′ 3 − U ″ 3 =50 V−50 V=0 V
| Értékelés:
| Az U 2 előjelváltással követte az áramgenerátor áramának előjelváltását. Ebben a példában az A és C pont ekvipotenciális, R 3 elhagyható, rövidre zárható, megváltoztatható. Végül levonhatunk egy következtetést: a szuperpozíciós részeredmények ismerete jelentős könnyebbséget ad a többgenerátoros hálózat valamely generátora megváltozásának gyors követésére számításainkban.
| 9.3. példa: Tekintsük a 9.5. ábrán látható kapcsolást. Az adatok:
9.5. ábra
| U g 1 = U g 2 =100 V I g =1 A R 1 = R 2 =100 Ω ¯ U 1 = U 2 =
| 1. eset:
9.6. ábra
| U ′ 1 = U g 1 =100 V U ′ 2 =0 A⋅ R 2 =0 V
| 2. eset:
9.7. ábra
| U ″ 1 =− U g 2 =−100 V U ″ 2 =0 A⋅ R 2 =0 V
| 3. eset:
9.8. ábra
| U'' ' 1 =0 A⋅ R 1 =0 V I'' ' 2 =− I g U'' ' 2 =I'' ' 2 ⋅ R 2 =− I g ⋅ R 2 =−1 A⋅100 Ω=−100 V
| Összegzés:
| U 1 = U ′ 1 + U ″ 1 +U'' ' 1 =100 V−100 V+0 V=0 V U 2 = U ′ 2 + U ″ 2 +U'' ' 2 =0 V+0 V−100 V=−100 V
| Ellenőrzés: U 1 = U g 1 − U g 2 =0 V , feszültségmentes (huroktörvény alapján), I g átfolyik R 2-n (soros kapcsolás), ezért U 2 =− I g ⋅ R 2 =−100 V .

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Mikor nevezünk egy hálózatot lineárisnak?
| ha csak az általunk definiált feszültséggenerátort tartalmazza,
| ha csak az általunk definiált áramgenerátort tartalmazza,
| ha csak Ohm törvényének eleget tevő ellenállást tartalmaz.
| 2. Mikor alkalmazható a szuperpozíció tétele?
| csak egyszerű hálózat esetében,
| csak lineáris hálózat esetében,
| csak legalább négy csomópontot tartalmazó hálózat esetében,
| 3. Mivel kell helyettesíteni a szuperpozíció tétel alkalmazása során a feszültséggenerátorokat?
| rövidzárral,
| szakadással.
| 4. Mivel kell helyettesíteni a szuperpozíció tétel alkalmazása során az áramgenerátorokat?
| rövidzárral,
| szakadással.
| 5. Hány generátort kell aktívnak meghagyni a szuperpozíció tétel egy-egy részszámítása során?
| szigorúan egyet,
| lehet többet is, de minden generátort egyszer és csakis egyszer kell figyelembe venni.
| 6. Milyen fizikai jelentéssel bírnak a szuperpozíció tétel alkalmazása során kapott részeredmények?
| nem bírnak fizikai jelentéssel,
| az adott generátor részhatását pontosan tükrözik.