KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Egyenáramú hálózatok

10. lecke: Helyettesítő generátorok (Thevenin és Norton) tétele

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| valós generátorokat modellezni ideális generátorral és ideális belső ellenállással; saját szavaival megfogalmazni a helyettesítő generátorok tételét; alkalmazni a helyettesítő generátorok tételét számítási feladatok megoldására.
| Tananyag
| Valós feszültséggenerátor
| Az ideális feszültséggenerátor kapcsain a feszültség minden körülmények között a rá megadott, "definiált" érték. Nem függ attól, hogy mekkora terhelő ellenállást csatlakoztatunk rá, vagy más megfogalmazásban attól, hogy mekkora árammal terheljük. És nem változik meg attól sem, ha bármilyen összetett hálózatra csatlakoztatjuk.
| A gyakorlatban generátoraink többnyire feszültséggenerátorok, az áramgenerátor megvalósítása nehézkesebb. Mégis ritkán fogadhatjuk el a műszaki megvalósítást ideálisnak. Nem kell azonban az eddig megismert, ideális elemekkel történő modellezést feladunk.

|  | Tétel: Egy valós feszültséggenerátor modellezhető egy ideális feszültséggenerátor és egy úgynevezett "belső ellenállás" soros kapcsolásával (10.1. ábra).
10.1. ábra

|  | A valós feszültséggenerátor közel ideális, ha terhelt állapotban (10.2. ábra) a kapocsfeszültség, U k megegyezik U g -vel, vagy ahhoz közeli értékű. Ha a körben áram folyik, akkor a belső ellenálláson egy belső feszültségesés jön létre. Ez a kapocsfeszültséget csökkenti:
10.2. ábra
| U k = U g − U b = U g −I⋅ R b .
| A kapocsfeszültség tehát akkor közelíti meg az ideális generátor forrásfeszültségét, ha mind az áram, mind a belső ellenállás kicsi. Ebből a felismerésből két következtetés vezethető le. Az egyik az, hogy ha a belső ellenállás értéke nulla, akkor a valós feszültséggenerátor határeseteként az ideális feszültséggenerátorhoz jutunk. Ha nem így lenne, akkor következtetés-láncolatunkban valahol hibát követtünk volna el.
| A másik kérdés az, hogy mikor fogadhatjuk el a valós feszültséggenerátort közel ideálisnak. Ez akkor teljesül, ha
| U k ≈ U g ,
| U g − U b ≈ U g ,
| U b << U g ,
| I⋅ R b << U g .
| Az áramot kifejezhetjük a generátorfeszültség és a két ellenállás soros eredőjének hányadosával:
| I= U g R b + R t ,
| ebből
| U g R b + R t ⋅ R b << U g ,
| R b R b + R t <<1 ,
| R b << R b + R t ,
R b << R t
| reláció következik.
| A valós feszültséggenerátor tehát akkor tekinthető közel ideálisnak, ha a belső ellenállása az éppen alkalmazott terhelő ellenállásnál lényegesen kisebb. A reláció általános érvényű, de a mértékét minden esetben a támasztott pontossági követelmények alapján külön-külön kell meghatározni.
| A kapocsfeszültség alakulását egy diagramon is szemlélhetjük (10.3. ábra). Ha a terhelő áram nulla, akkor a kapocsfeszültség a generátorfeszültséggel megegyezik. Ebből a pontból a diagramon ideális feszültséggenerátor esetén egy vízszintes egyenes, valós generátor esetén egy enyhén lejtő ferde egyenes indul ki. Minél kisebb a ferde egyenes lejtése, annál jobban közelíti a valós generátor az ideálisat.
10.3. ábra
| Valós áramgenerátor
| Az ideális áramgenerátor mindig a rá jellemző, "definiált" áramot hajtja keresztül a csatlakozó hálózaton. A gyakorlatban áramgenerátorokat legtöbbször elektronikusan valósítunk meg és ezek csak jól meghatározott korlátok között képesek az ideálisat megközelíteni. Generátoraink kapcsait gyakran hagyjuk szabadon. Ez a feszültséggenerátornál nem, de az áramgenerátornál ellentmondáshoz vezet. A szakadáson ugyanis nem folyhat áram, az ideális generátornak viszont át kellene hajtani az áramát. Ilyenkor az áramgenerátorunk hibája megmutatkozik.
| A valós áramgenerátor modellje egy ideális áramgenerátorból és egy párhuzamosan kapcsolt belső ellenállásból áll (10.4. ábra).
10.4. ábra
| A valós áramgenerátor akkor közelíti az ideálisat, ha belső ellenállása kellően nagy. Az ideális áramgenerátor belső ellenállása végtelen nagy.
10.5. ábra
| Ha az áramgenerátor nem ideális, akkor a forrásárama megoszlik a belső ellenállás és a terhelő ellenállás között (10.5. ábra).
| I g = I b + I t
| A valós áramgenerátor közel ideális, ha a generátoráram csaknem teljes egészében a terhelésre jut.
| I g ≈ I t
| Ez akkor teljesül, ha a terhelő ellenállás árama mellett a belső ellenállás árama elhanyagolható.
| I g >> I b
| és
| I t >> I b .
| Utóbbiba behelyettesítve:
| U R t >> U R b
| 1 R t >> 1 R b
R t << R b
| A valós áramgenerátor tehát akkor tekinthető közel ideálisnak, ha a belső ellenállása az éppen alkalmazott terhelő ellenállásnál lényegesen nagyobb.
| Helyettesítő generátorok tétele

|  | Tétel: Egy általános, (ellenállásokat, feszültséggenerátorokat, áramgenerátorokat tartalmazó) lineáris hálózat két pontjára helyettesíthető mind egy valós feszültséggenerátorral, Thevenin generátorral, mind egy valós áramgenerátorral, Norton generátorral.

|  | A két pontot megkülönböztetésül A-val és B-vel jelöljük (10.6. ábra).
10.6. ábra
| A Thevenin és a Norton generátor természetesen egymásba is átalakítható. A helyettesítő generátorok jellemző adatainak meghatározásához a helyettesítendő hálózat két tetszőleges, különböző állapotát kell ismernünk. Legegyszerűbb, ha az üresjárási és a rövidzárási állapotot vizsgáljuk.
| Üresjárási állapot
| Üresjárásban egy hálózat kimenetén áram nem folyik. Ezért elegendő a három esetre az üresjárási feszültséget meghatározni. Ha a három kapcsolás üresjárási feszültsége megegyezik, akkor erre az esetre a három kapcsolás azonosan viselkedik, egymást helyettesíti. Jelöljük a helyettesítendő hálózat üresjárási feszültséget U ü -vel! Értékét számítással vagy méréssel határozhatjuk meg, a feladat jellegének megfelelően.
| A Thevenin generátor üresjárási feszültsége megegyezik feszültséggenerátorának forrásfeszültségével. Ezért a helyettesítéshez az
U T = U ü
| azonosságot kell biztosítani.
| A Norton generátor kapcsain üresjárásban a generátoráram által a belső ellenálláson ejtett feszültség jelenik meg. A helyettesítéshez tehát teljesítendő:
| I N ⋅ R b N = U ü .
| Rövidzárási állapot
| Rövidre zárt állapotban egy hálózat kimenetén feszültség nem esik. Ezért elegendő a három, egymást helyettesítő esetre a rövidzárási áramot meghatározni. Ha a három kapcsolás rövidzárási árama megegyezik, akkor erre az esetre a három kapcsolás azonosan viselkedik, egymást helyettesíti. Jelöljük a helyettesítendő hálózat rövidzárási áramát I r z -vel! Határozzuk meg az értékét!
| A Norton generátor áramgenerátorának árama teljes egészében a rövidzáron folyik. A belső ellenálláson nem folyik áram. Ezért
I N = I r z
| A Thevenin generátor rövidre zárásával egy zárt áramkör alakul ki. A kialakuló áramot a feszültséggenerátor feszültsége és a belső ellenállás nagysága határozza meg. Ezért az
| U T R b T = I r z
| egyenlőséget kell a helyettesítéshez teljesíteni.
| A Thevenin generátor belső ellenállása:
| R b T = U T I r z = U ü I r z .
| A Norton generátor belső ellenállása:
| R b N = U ü I N = U ü I r z
| A két belső ellenállás tehát megegyezik, ahogyan az a 10.6. ábra jelöléseiben is látható:
R b = U ü I r z
| A belső ellenállás úgy is meghatározható, hogy a kapcsolásban található összes feszültséggenerátort rövidzárral, az összes áramgenerátort szakadással helyettesítjük (a hálózatot "dezaktivizáljuk"). Az ezután az A-B kapcsok között kialakuló eredő ellenállás megegyezik a belső ellenállással.

|  | Tétel: Ha az általános lineáris hálózatunkat egy Thevenin illetve egy Norton generátor két tetszőleges állapotban (például üresjárásban és rövidzár esetén) helyettesíti, akkor minden más állapotban is helyettesíti.

|  | A helyettesítő generátorok alkalmazása akkor célszerű, ha egy hálózatunknak az A-B kapcsaira csatlakozó több különböző terhelése mellett kell a feszültség- és az áramállapotát meghatároznunk.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Milyen egy valós feszültséggenerátor modellje?
| egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
| egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása,
| egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
| egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása.
| 2. Milyen egy valós áramgenerátor modellje?
| egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
| egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása,
| egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
| egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása.
| 3. Hogyan számítható ki a Thevenin generátor forrásfeszültsége?
| az eredeti generátor forrásfeszültségével egyezik meg,
| a rövidzárási áram és a terhelő ellenállás szorzata,
| az üresjárási feszültséggel egyezik meg,
| a rövidzárási árammal egyezik meg.
| 4. Hogyan számítható ki a Norton generátor forrásárama?
| az eredeti generátor forrásáramával egyezik meg,
| a üresjárási feszültség és a terhelő ellenállás hányadosa,
| az üresjárási feszültséggel egyezik meg,
| a rövidzárási árammal egyezik meg.
| 5. Hogyan aránylik egy Thevenin és egy Norton generátor belső ellenállása?
| fele,
| kétszerese,
| megegyezik.
| 6. Hogyan számítható ki a belső ellenállás?
| a terhelő ellenállással egyezik meg,
| az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosaként,
| az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram szorzataként,
| a dezaktivizált hálózatnak a csatlakozó kapcsok felőli eredő ellenállásaként.
| 7. Hogyan számítható egy Thevenin generátor forrásfeszültségéből a Norton generátor forrásárama?
| I N = U T ⋅ R b ,
| I N = U T R b ,
| I N = U T + R b ,
| I N = U T +I⋅ R b .