KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

15. lecke: Be- és kikapcsolási jelenségek soros RC körben

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| saját szavaival megfogalmazni a be- és kikapcsolási jelenségeket soros RC körben; felírni az időállandó képletét.
| Tananyag
| Soros RC elemek egyenfeszültségre kapcsolása
| Tekintsük a 15.1. ábrán látható kapcsolást!
15.1. ábra
| Az ellenállás és kondenzátor soros kapcsolását a K kapcsolóval t=0 pillanatban U g egyenfeszültségű generátorra kapcsoljuk. Az u k feszültségben egy U g nagyságú ugrás jön létre. Ez az a változás, amely az ellenállás feszültségében, a kondenzátor feszültségében és a kör áramában változásokat okoz! Írjuk fel a huroktörvényt az áramkörre!
| u k = u R + u C
| Vizsgáljuk azt az általános esetet, amikor a bekapcsolás előtt a passzív elemeink energia- és feszültségmentesek.
| t<0 esetén u k ( t )=0 , u R ( t )=0 , u C ( t )=0 .
| A kapcsoló zárásával az u k kapocsfeszültség felveszi a generátorfeszültség értékét, tehát:
| t≥0 esetén U g = u k (t)= u R ( t )+ u C ( t ) .
| Használjuk fel az ellenállásra megismert összefüggést.
| u R ( t )=R⋅i( t ) ebből
| U g =R⋅i( t )+ u C ( t )
| A közös áram szerepel a kondenzátor egyenletében is.
| i( t )=C⋅ d u C ( t ) d t , ebből (1)
| U g =R⋅C⋅ d u C ( t ) d t + u C ( t )
| Egy inhomogén differenciálegyenletet kaptunk, melyben a kondenzátor feszültségének időfüggvénye az egyetlen ismeretlen. A differenciálegyenlet megoldása függvénykeresés. Keressük a kondenzátor feszültségének azon időfüggvényét, amely kielégíti a differenciálegyenletet. Az ilyen típusú differenciálegyenlet megoldása az e x exponenciális függvény valamely alkalmas transzformáltja.
| A kondenzátor (1) differenciálegyenletéből még egy hasznos következtetést vonhatunk le. Ha a kondenzátor feszültségében ugrás van, akkor abban a pillanatban a feszültség deriváltja és ezzel az árama végtelen értéket vesz fel, ami gyakorlatilag lehetetlen. A kondenzátor feszültsége tehát a bekapcsolás pillanatában meg kell, hogy tartsa a bekapcsolás előtti nulla értékét. Az ezt a feltételt is teljesítő, a differenciálegyenletet kielégítő megoldás:
u C ( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) 0≤t<∞
| Az időfüggvényt a 15.2. ábrán tekinthetjük meg. A kondenzátor feszültsége bekapcsoláskor nulláról indulva aszimptotikusan közelíti U g értékét.
15.2. ábra
| Az exponenciális függvény kitevőjében a független változó, az idő, fizikai mennyiség, tehát van mértékegysége. A kitevő nevezőjében szereplő konstans szintén idő mértékegységű mennyiség, így a teljes kitevő mértékegység nélküli, és akár egészként, akár törtként a matematika szabályai szerint értelmezhető. Az áramkör további időfüggvényei:
u R ( t )= U g ⋅ e − t τ 0≤t<∞
i( t )= u R ( t ) R = U g R ⋅ e − t τ 0≤t<∞
| A huroktörvény teljesül:
| u R ( t )+ u C ( t )= U g ⋅ e − t τ + U g ⋅(1− e − t τ )= U g ⋅( e − t τ +1− e − t τ )= U g 0≤t<∞ .
| Az időállandó
| A kitevőben szereplő konstans értékének változtatása vízszintes nyújtást vagy zsugorítást eredményez. A neve: időállandó, jele: τ. Szerkesztéssel a bekapcsolás pillanatában az időfüggvényhez húzott érintővel az érintési pontja és a végtelenbeli vízszintes érintő metszéspontja közötti vízszintes távolságként kaphatjuk meg. Algebrai kifejezését a differenciálegyenletben a deriváltfüggvény szorzójaként szereplő kifejezésként találjuk meg. Soros RC kapcsolás időállandója:
τ=R⋅C
| Ellenőrizzük a mértékegységeket:
| [ R ]⋅[ C ]= V A ⋅ A⋅s V =s=[ τ ]=[ t ] .
| Figyeljük meg gondosan a 15.2. ábra négy, azonos léptékben egymás alá rajzolt időfüggvényét! Bármely pillanatban húzott függőleges rendező négy olyan pillanatértéket jelöl ki, melyek között a huroktörvény ellenőrizhető.
| Az exponenciális függvények elméletileg csak a végtelenben érik el vízszintes érintőjüket. De mennyi idő alatt zajlik le a bekapcsolás gyakorlatilag? Ezt ahhoz az időponthoz kötjük, amelynél a görbék az U g feszültségnek az 1%-ánál kisebb hibával megközelítik a végső értéküket. Keressük a következő egyenlet megoldását: 0,01= e − t τ . A megoldás: t=4,6⋅τ . A műszaki gyakorlatban a leegyszerűsített szabály: 5 τ idő alatt a tranziens folyamat lezajlik, és állandósult állapot jön létre.
| Állandósult állapot
| Soros RC kapcsolásunkban ez az állandósult állapot azt jelenti, hogy az ellenálláson elhanyagolhatóan kis feszültség esik, és a kondenzátor magára veszi gyakorlatilag a teljes U g feszültséget, ami megfelel az egyenáramú állapotnak.
15.3. ábra
| Soros RC elemek kikapcsolása
| Ha a feltöltött kondenzátort a soros ellenállással t=0 pillanatban rövidre zárjuk (15.3. ábra), egy kikapcsolási tranziens folyamat játszódik le. A feltöltött kondenzátor a kikapcsolás pillanatában az ellenállásra az előzővel ellentétes irányú, U g nagyságú feszültségugrást kényszerít rá. A megoldást most egy homogén differenciálegyenlet adja.
| A végeredmények ( 0≤t<∞ ):
u R ( t )=− U g ⋅ e − t τ
u C ( t )= U g ⋅ e − t τ
i(t)=− U g R ⋅ e − t τ
| A huroktörvény szerint:
| u R ( t )+ u C ( t )=− U g ⋅ e − t τ + U g ⋅ e − t τ =0
| Az időállandó most is:
| τ=R⋅C .
| Ha az ellenállás és kondenzátor soros kapcsolását t=0 pillanatban U g egyenfeszültségű generátorra kapcsoljuk, majd az állandósult állapot jó megközelítését, legalább 5 τ időt kivárva t 1 pillanatban kikapcsoljuk, a 15.4. ábra szerinti folyamatok játszódnak le.
15.4. ábra

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )= U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U C ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) .
| 2. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után a kondenzátor feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )= U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U C ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) .
| 3. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az áram időfüggvénye?
| i( t )= U g R ⋅ e − τ t ,
| i( t )= R U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| i( t )= U g R ⋅ e − t τ ,
| i( t )= U g R ⋅( 1− e − τ t ) ,
| i( t )= U R R ⋅ e − t τ ,
| i( t )= I R ⋅( 1− e − t τ ) .
| 4. Egy kondenzátornak melyik időfüggvényében nem lehet ugrás?
| a feszültségében,
| az áraméban,
| egyikben sem lehet,
| mindkettőben lehet.
| 5. Hogyan számítható egy soros RC kapcsolás egyenfeszültségre kapcsolásakor értelmezett időállandó?
| τ= R C ,
| τ= C R ,
| τ=R⋅C ,
| τ= R L ,
| τ= L R ,
| τ= 1 R⋅C .
| 6. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
| u( t )=− U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )=− U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )=− U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U C ⋅ e − t τ ,
| u( t )=− U g ⋅( 1− e − t τ ) .
| 7. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után a kondenzátor feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )= U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U C ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) .
| 8. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az áram időfüggvénye?
| i( t )=− U g R ⋅ e − τ t
| i( t )= R U R ⋅( 1− e − t τ )
| i( t )=− U g R ⋅ e − t τ
| i( t )= U g R ⋅( 1− e − τ t )
| i( t )=− U R R ⋅ e − t τ
| i( t )= I R ⋅( 1− e − t τ )