KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

21. lecke: Soros RC kapcsolás analízise

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| elemezni a soros RC kapcsolást; meghatározni a soros RC kapcsolás eredő impedanciáját; értelmezni az impedancia vektorábrát; értelmezni a feszültség-áram vektorábrát.
| Tananyag
| Kapcsoljunk sorosan egy ellenállást és egy kondenzátort szinuszos feszültséggenerátorra (21.1. ábra)!
21.1. ábra
| A generátort a két soros elem eredő impedanciája terheli.
| Z R C ¯ = Z R ¯ + Z C ¯ =R−j 1 ω⋅C
| Az impedancia-elemek összegzését grafikusan is elvégezhetjük a 21.2. ábra szerint. Az ellenállás és a kondenzátor impedancia-vektorával párhuzamost rajzolva a két vektort téglalappá egészítjük ki. A két vektor összege a téglalap átlójában húzott ferde eredő vektor.
21.2. ábra
| Az eredő abszolút értéke Pythagorasz tétellel számítható. A képzetes egység az abszolút értéket nem befolyásolja, a képletben nem szabad szerepeltetni. Az impedancia abszolút értékét a felülvonás elhagyásával is jelölhetjük.
| | Z R C ¯ |= Z R C = R 2 + ( 1 ω⋅C ) 2
| Az impedancia fázisszöge
| ϕ=a r c t g − 1 ω⋅C R =−a r c t g 1 ω⋅R⋅C
| A fázisszög 0 és -90° közötti érték (a kapcsolás "kapacitív").
| Válasszunk a generátor feszültségének tiszta szinuszos feszültséget:
| u g (t)= U ^ g ⋅sin⁡ω⋅t .
| A komplex időfüggvény:
| u g (t) ¯ = U ^ g ⋅ e j⋅ω⋅t .
| A komplex amplitúdó:
| U ^ g ¯ = U ^ g .
| Az eredő impedancia a generátor feszültsége és az áram között teremt kapcsolatot
| Z R C ¯ = U ^ g ¯ I ^ ¯ .
| Ebből kifejezhető az áram komplex amplitúdója:
| I ^ ¯ = U ^ g ¯ Z R C ¯ = U ^ g Z R C ¯ .
| Az áram komplex amplitúdója ismeretében a részfeszültségek komplex amplitúdói is számíthatók.
| U ^ R ¯ = I ^ ¯ ⋅ Z R ¯ = I ^ ¯ ⋅R
| U ^ C ¯ = I ^ ¯ ⋅ Z C ¯ = I ^ ¯ ⋅(−j⋅ 1 ω⋅C )
| Ebből a valós amplitúdók:
| I ^ = U ^ g R 2 + ( 1 ω⋅C ) 2 ,
| U ^ R = I ^ ⋅R ,
| U ^ C = I ^ ⋅ 1 ω⋅C = I ^ ⋅ X C .
| Feszültség-áram vektorábra
| A kiszámított feszültségeket és az áramot vektorosan az impedancia-vektorábrától függetlenül, egy újabb, úgynevezett feszültség-áram vektorábrában ábrázolhatjuk (21.3. ábra). Ez a vektorábra a másiktól kissé eltér. Nem rajzolunk tengelyeket és az egymáshoz képest elforgatott, de egyébként egybevágó ábrák ugyanazon vektoregyüttes különböző pillanatbeli állapotát tükrözik. A komplex időfüggvényt egy óramutató járásával ellentétes irányú nyíllal és az " ω" felirattal érzékeltetjük.
21.3. ábra
| A feszültség-áram vektorábra az impedancia-vektorábrával lehet egybevágó, de mindenképpen hasonló. Ezt erősíti meg a vektorábrákon a " ϕ" fázisszög szerepeltetése. Az áram és az ellenállás-feszültség vektora egy egyenesbe esik, szorosan egymás mellé kell rajzolni.
| Az időfüggvények a vektorábrából felírhatók. Az áram időfüggvényéből célszerű kiindulni, amely ϕ fázisszöggel siet a generátorfeszültséghez képest.
| i(t)= I ^ ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ)
| Az ellenállás feszültsége az árammal fázisban van.
| u R (t)= U ^ R ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ)
| A kondenzátor feszültsége 90°-ot késik az áramhoz képest.
| u C (t)= U ^ C ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ−90°)
| Az időfüggvényeket a jó összehasonlíthatóság érdekében közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A vízszintes tengelyen felmért értékeket időben adjuk meg (a fázisszögeket a körfrekvenciával osztani kellene) (21.4. ábra).
21.4. ábra

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Hogyan számítható soros RC kapcsolás eredő impedanciája abszolút értéke?
| Z R C =R+ 1 ω⋅C ,
| Z R C ¯ =R+( 1 j⋅ω⋅C ) ,
| | Z R C ¯ |= Z R C = R 2 + ( 1 2⋅π⋅f⋅C ) 2 ,
| | Z R C ¯ |= Z R C = R 2 + ( 1 j⋅ω⋅C ) 2 ,
| | Z R C ¯ |= Z R C = R 2 + ( 1 ω⋅C ) 2 ,
| | Z R C ¯ |= Z R C = R 2 + ( 1 ω⋅C ) 2 ,
| Z R C = R 2 + ( 1 ω⋅C ) 2 .
| 2. Mekkora egy soros RC kapcsolás impedanciájának fázisszöge?
| mindig 0°,
| 0° és 90° közé eső érték,
| mindig 90°,
| 0° és -90° közé eső érték,
| mindig -90°.
| 3. Hogyan alakulnak egy szinuszos feszültséggenerátorral táplált soros RC kapcsolás feszültségei a frekvencia növelésével?
| az ellenállás feszültsége nő és a kondenzátor feszültsége csökken,
| mindkét feszültség nő,
| mindkét feszültség csökken,
| az ellenállás feszültsége csökken és a kondenzátor feszültsége nő,