KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

16. lecke: Be- és kikapcsolási jelenségek soros RL körben

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| saját szavaival megfogalmazni a be- és kikapcsolási jelenségeket soros RL körben; felírni az időállandó képletét.
| Tananyag
| Soros RL elemek egyenfeszültségre kapcsolása
| Tekintsük a 16.1. ábrán látható kapcsolást!
16.1. ábra
| Most az ellenállás és a tekercs soros kapcsolását csatlakoztatjuk a K kapcsolóval t=0 pillanatban U g egyenfeszültségű generátorra. A kapcsoló zárása előtt, t<0 esetén, minden elemet feszültség-, áram- illetve energiamentesnek tekintünk, a három feszültség és az áram nulla. A kapcsoló zárása után U g egyenfeszültség jut a kapcsolásra. A hurokegyenlet:
| u k ( t )= u R ( t )+ u L ( t )
| A kapcsoló zárása után:
| U g = u R ( t )+ u L ( t ) 0≤t<∞
| Felhasználva az ellenállás feszültsége és árama közötti kapcsolatot:
| U g =R⋅i( t )+ u L ( t )
| A tekercs differenciálegyenlete alapján:
| U g =R⋅i( t )+L⋅ d i( t ) d t
| Az ellenállás értékével osztva:
| U g R =i( t )+ L R ⋅ d i( t ) d t
| Az RC kapcsoláséhoz nagyon hasonló differenciálegyenletet kapunk. A megoldás is hasonló:
i( t )= U g R ⋅(1− e − t τ ) 0≤t<∞
| A további időfüggvények:
| u R ( t )=R⋅i( t )= U g ⋅(1− e − t τ )
u R ( t )= U g ⋅(1− e − t τ ) 0≤t<∞
u L ( t )= U g ⋅ e − t τ 0≤t<∞
| Az időfüggvényeket a RC kapcsoláséhoz hasonlóan, egymás alatt a 16.2. ábrán szemlélhetjük.
16.2. ábra
| Az időállandó:
τ= L R
| A mértékegységekkel ellenőrizve:
| [ L ] [ R ] = V⋅s A V A =s=[ τ ]=[ t ]
| Az időfüggvények megrajzolásánál τ helye ugyanaz, mint RC kapcsolás esetében. Tulajdonképpen az ellenállás és a reaktáns elem feszültségét cseréltük fel. Az áram pedig mindig az ellenállás feszültségének időfüggvényéhez kötődik.
| A tekercs differenciálegyenletéből itt kikövetkeztethető, hogy a tekercsnél annak áramában nem lehet ugrás. (Megjegyzés: ez a magyarázata annak a gyakorlatban tapasztalt jelenségnek, hogy a nagyobb tekercset tartalmazó kapcsolások kikapcsolásakor erős szikrázás tapasztalható, ami a kapcsoló élettartamát csökkenti.)
| Soros RL elemek kikapcsolása
| Az előző, bekapcsolási esetet követheti a kikapcsolás a 16.3. ábra szerinti kapcsolásban.
16.3. ábra
| A kikapcsolás a K kapcsolónak a felső állásból az alsó állásba elvileg nulla idő alatt történő átváltásával valósul meg. A gyors, gyakran elektronikus átváltás lehetővé teszi, hogy az áram változatlan maradjon. A kapocsfeszültségben a kapcsoló átváltásakor most a generátorfeszültségből nullába való ugrás következik be. A differenciálegyenlet is egyszerűbb:
| u K ( t )=R⋅i( t )+L⋅ d i( t ) d t
| Az átkapcsolás, t=0 után:
| 0=R⋅i( t )+L⋅ d i( t ) d t 0≤t<∞
| 0=i(t)+ L R ⋅ d i(t) d t 0≤t<∞
| Ez egy homogén differenciálegyenlet, mely átrendezve így alakul:
| i(t)= L R ⋅ d i(t) d t ,
| és azt a kérdést veti fel számunkra, hogy (a konstansoktól eltekintve) melyik az a függvény, amelynek a deriváltja önmaga. Erre a matematikában a közismert megoldás a természetes alapú exponenciális függvény.
| y= e x
| A mi esetünkben a megoldás, a következő:
i(t)= U g R ⋅ e − t τ
| A tekercs lassan elveszti áramát, árammentessé válik. Az időfüggvény kiinduló értékét a bekapcsolás utáni, állandósult állapotból "megörököltük". Ez indokolja, hogy bár a kikapcsolás után nem marad U g forrásfeszültségű generátor az áramkörünkben, annak értéke az áram időfüggvényében mégis szerepel. Az időállandó változatlan.
τ= L R
| A feszültségek:
| u R (t)=R⋅i(t)= U g ⋅ e − t τ
u R (t)= U g ⋅ e − t τ
| u L (t)=− u R (t)=− U g ⋅ e − t τ
u L (t)=− U g ⋅ e − t τ
| A kikapcsolási tranziens (átmeneti) folyamat is gyakorlatilag 5 τ idő alatt lezajlottnak tekinthető. Utána az elemek feszültség- és árammentesek lesznek. Egy bekapcsolási, majd annak gyakorlatilag teljes lezajlása után, t 1 pillanattól a kikapcsolási átmeneti folyamat időfüggvényeit a 16.4. ábrán szemlélhetjük.
16.4. ábra
| Soros RL és RC elemek egyenfeszültségre kapcsolása esetén a feszültségek és az áram keresése a differenciálegyenlet egyértelmű megoldásával exponenciális időfüggvényeket eredményezett. Összetettebb kapcsolás vagy gerjesztő időfüggvény összetettebb megoldást eredményez. Például egy ellenállás-tekercs-kondenzátor kapcsolás saját frekvenciával rendelkezik, és csillapodó lengéseket eredményezhet. Az általános hálózat és időfüggvény tárgyalása elvileg is nehézkes, bonyolult feladat. Jól kezelhetővé problémáink akkor válnak, ha vizsgálatainkat periodikus időfüggvényekre korlátozzuk.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Soros RL kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )= U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U L ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) .
| 2. Soros RL kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után a tekercs feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )= U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U L ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) .
| 3. Soros RL kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az áram időfüggvénye?
| i( t )= U g R ⋅ e − τ t ,
| i( t )= R U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| i( t )= U g R ⋅ e − t τ ,
| i( t )= U g R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| i( t )= U R R ⋅ e − t τ ,
| i( t )= I R ⋅( 1− e − t τ ) .
| 4. Egy tekercsnek melyik időfüggvényében nem lehet ugrás?
| a feszültségében,
| az áraméban,
| egyikben sem lehet,
| mindkettőben lehet.
| 5. Hogyan számítható egy soros RL kapcsolás egyenfeszültségre kapcsolásakor értelmezett időállandó?
| τ= R C ,
| τ= 1 R⋅L ,
| τ=R⋅C ,
| τ= R L ,
| τ= L R ,
| τ=R⋅L .
| 6. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RL kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után a tekercs feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )=− U g ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )=− U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )=− U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U L ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) .
| 7. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RL kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
| u( t )= U g ⋅ e − τ t ,
| u( t )= U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| u( t )= U g ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − τ t ) ,
| u( t )= U L ⋅ e − t τ ,
| u( t )= U g ⋅( 1− e − t τ ) .
| 8. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RL kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az áram időfüggvénye?
| i( t )= U g R ⋅ e − τ t ,
| i( t )=− R U R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| i( t )= U g R ⋅ e − t τ ,
| i( t )=− U g R ⋅( 1− e − t τ ) ,
| i( t )= U R R ⋅ e − t τ ,
| i( t )= I R ⋅( 1− e − t τ ) .