KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

25. lecke: Teljesítmény-időfüggvény és átlagteljesítmény kondenzátoron illetve tekercsen. A meddő teljesítmény

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| meghatározni a váltakozó áramú teljesítményt kondenzátoron; meghatározni a váltakozó áramú teljesítményt tekercsen; saját szavaival meghatározni a meddő teljesítmény fogalmát.
| Tananyag
| Váltakozóáramú teljesítmény kondenzátoron
| Kapcsoljunk a kondenzátorunkra szinuszos feszültséget.
| u(t)= U ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| Az kondenzátor árama:
| i(t)=C d u(t) d t =C d U ^ ⋅sin⁡ω⋅t d t = U ^ ⋅ω⋅C⋅sin⁡(ω⋅t+90°)= I ^ ⋅cos⁡ω⋅t
| Az kondenzátor teljesítménye:
| p(t)=u(t)⋅i(t)= U ^ ⋅sin⁡(ω⋅t)⋅ I ^ ⋅cos⁡(ω⋅t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅sin⁡(ω⋅t)⋅cos⁡(ω⋅t)
| Az időfüggvényt trigonometriai átalakítással tovább írhatjuk:
| p(t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅sin⁡(ω⋅t)⋅cos⁡(ω⋅t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅ sin⁡2⋅ω⋅t 2
25.1. ábra
| A teljesítmény-időfüggvényt a 25.1. ábrán vizsgálhatjuk. Az időfüggvény a vízszintes tengelyre szimmetrikus, pillanatértékei váltakozva pozitív és negatív értékek. Kétszeres frekvenciájú, U ^ ⋅ I ^ ⋅ 1 2 amplitúdójú, a jelen ábrázolásban szinuszos függvény. A teljesítmény-időfüggvény pozitív és negatív félperiódusa vonalkázott területe megegyezik. Ezért az integrálás eredménye félperiódusra a két vonalkázott terület különbsége, tehát nulla.
| Váltakozóáramú teljesítmény tekercsen
| Kapcsoljunk a tekercsre szinuszos áramot.
| i(t)= I ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| A tekercs feszültsége:
| u(t)=L d i(t) d t =L d I ^ ⋅sin⁡ω⋅t d t = I ^ ⋅ω⋅L⋅sin⁡(ω⋅t+90°)= U ^ ⋅cos⁡ω⋅t
| A tekercs teljesítménye:
| p(t)=u(t)⋅i(t)= U ^ ⋅cos⁡(ω⋅t)⋅ I ^ ⋅sin⁡(ω⋅t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅cos⁡(ω⋅t)⋅sin⁡(ω⋅t)
| Trigonometriai átalakítás után:
| p(t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅cos⁡(ω⋅t)⋅sin⁡(ω⋅t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅ sin⁡2⋅ω⋅t 2
| A teljesítmény-időfüggvény tehát hasonló a kondenzátoréhoz. A vízszintes tengelyre szimmetrikus, kétszeres frekvenciájú, U ^ ⋅ I ^ ⋅ 1 2 amplitúdójú. Mindkét esetre érvényes, hogy az egy teljes periódusra vett átlag nulla. A teljesítmény pozitív és negatív félperiódusai azonos görbe alatti területet fednek.
| ∫ T p(t)dt = ∫ T U ^ ⋅ I ^ ⋅ sin⁡2⋅ω⋅t 2 d t =0
| A tekercs és a kondenzátor tehát teljes periódusra nézve energiát nem fogyaszt. Ez úgy lehetséges, hogy a belsejükben felépítenek egy villamos illetve mágneses teret, ehhez egy negyed periódus alatt energiát vesznek fel a tápláló generátorból, majd a második negyed periódus alatt a térből az energia visszatáplálódik a generátorba. A harmadik negyed periódusban ellentétes irányú tér épül fel, amelyben tárolt energia a negyedik negyedben jut vissza a generátorba. Röviden teljesítménylengés alakul ki anélkül, hogy energia elfogyasztásra kerülne.
| Meddő teljesítmény
Megjegyzés: a meddő teljesítmény nem tévesztendő össze a "veszteségi" teljesítménnyel. | A kondenzátoron és a tekercsen fellépő teljesítményt meddő teljesítménynek nevezzük. A tekercsen pozitív, a kondenzátoron negatív előjellel vesszük figyelembe a meddő teljesítményt, tehát ha egy kapcsolásban tekercs és kondenzátor is található, akkor a hálózat eredő meddő teljesítménye az induktív és a kapacitív meddő teljesítmény különbsége, a két meddő teljesítmény egymást kompenzálja.

|  | Tétel:Kondenzátoron és tekercsen mindig meddő teljesítmény jön létre.
| Tétel: Meddő teljesítmény csak kondenzátoron vagy tekercsen jön létre.

|  | A meddő teljesítmény jele: Q.
| Mértékegység jele: VAr, neve: voltamperreaktív (a mértékegység régebbi, ma már nem szabványos, de előforduló jelölése: var).

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Milyen értékeket vesz fel a teljesítmény-időfüggvény kondenzátoron és tekercsen szinuszos feszültség mellett?
| csak nulla,
| pozitív és negatív értékeket tetszőlegesen,
| pozitív és negatív értékeket de csak szimmetrikusan,
| csak nemnegatív (pozitív és nulla),
| csak pozitív.
| 2. Milyen teljesítmény jön létre kondenzátoron?
| csak hatásos,
| csak meddő,
| csak látszólagos,
| hatásos és meddő,
| hatásos és látszólagos,
| meddő és látszólagos,
| mindhárom.
| 3. Milyen teljesítmény jön létre tekercsen?
| csak hatásos,
| csak meddő,
| csak látszólagos,
| hatásos és meddő,
| hatásos és látszólagos,
| meddő és látszólagos,
| mindhárom.
| 4. Milyen elemen jön létre meddő teljesítmény?
| csak ellenálláson,
| csak tekercsen,
| csak kondenzátoron,
| ellenálláson és tekercsen,
| ellenálláson és kondenzátoron,
| tekercsen és kondenzátoron,
| mindhárom elemen.
| 5. Mi a meddő teljesítmény jele?
| P,
| Q,
| S.
| 6. Mi a meddő teljesítmény mértékegységének a jele?
| W,
| VAr,
| var,
| VA.
| 7. Mi jellemzi a meddő teljesítményt?
| teljes egészében átalakul más teljesítménytípussá, elfogyasztásra kerül,
| teljesítménylengés generátor és fogyasztó között, nem kerül elfogyasztásra,
| részben elfogyasztásra kerül, részben teljesítménylengés generátor és fogyasztó között.