KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

22. lecke: Soros RL kapcsolás analízise

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| elemezni a soros RL kapcsolást; meghatározni a soros RL kapcsolás eredő impedanciáját; értelmezni az impedancia vektorábrát; értelmezni a feszültség-áram vektorábrát.
| Tananyag
| Kapcsoljunk sorosan egy ellenállást és egy tekercset szinuszos feszültséggenerátorra (22.1. ábra)!
22.1. ábra
| A generátort a két soros elem eredő impedanciája terheli.
| Z R L ¯ = Z R ¯ + Z L ¯ =R+j⋅ω⋅L
| A két impedanciaelem összegzése a vektorábrában szemléletesen követhető (22.2. ábra). Az ellenállás és a tekercs impedancia-vektorát téglalappá egészítjük ki. A két vektor összege a téglalap átlójában húzott ferde vektor.
22.2. ábra
| Az eredő abszolút értéke Pythagorasz tétellel számítható.
| | Z R L ¯ |= Z R L = R 2 + ( ω⋅L ) 2
| Az impedancia fázisszöge
| ϕ=a r c t g ω⋅L R
| A fázisszög 0 és +90° közötti érték (a kapcsolás "induktív").
| Legyen a kapcsolást tápláló generátor feszültsége ismét tiszta szinuszos feszültség.
| u g (t)= U ^ g ⋅sin⁡ω⋅t
| A generátorfeszültség komplex időfüggvénye:
| u g (t) ¯ = U ^ g ⋅ e j⋅ω⋅t .
| A komplex amplitúdó:
| U ^ g ¯ = U ^ g
| Az eredő impedancia:
| Z R L ¯ = U ^ g ¯ I ^ ¯
| Ebből az áram komplex amplitúdója:
| I ^ ¯ = U ^ g ¯ Z R L ¯ = U ^ g Z R L ¯
| Az áram komplex amplitúdója ismeretében a részfeszültségek komplex amplitúdói számíthatók.
| U ^ R ¯ = I ^ ¯ ⋅ Z R ¯ = I ^ ¯ ⋅R
| U ^ L ¯ = I ^ ¯ ⋅ Z L ¯ = I ^ ¯ ⋅j⋅ω⋅L
| Ebből a valós amplitúdók:
| I ^ = U ^ g R 2 + ( ω⋅L ) 2
| U ^ R = I ^ ⋅R
| U ^ L = I ^ ⋅ω⋅L= I ^ ⋅ X L
| Az eredményt a feszültség-áram vektorábrán vizsgálhatjuk (22.3.a ábra).
22.3. ábra
| A vektorábrát olyan helyzetben vettük fel, hogy a generátorfeszültség időfüggvényét kissé módosítottuk.
| u g (t)= U ^ g ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ)
| Vizsgáljuk meg most azt, hogyan származtathatók a vektorábrából az időfüggvények. A feszültség-áram vektorábra elemei komplex amplitúdók. A komplex időfüggvényre utalunk a körbeforgás jelzésével és hozzá az ? körfrekvencia megadásával. A vektorábra a t=0 pillanatban mutatja a vektoraink helyzetét. Egy más, t 1 időpontban a vektorok ω⋅ t 1 szöggel elfordított helyzetben vannak. A valós időfüggvény úgy képezhető, hogy a komplex időfüggvény képzetes részét vesszük.
| u(t)=Im⁡ u(t) ¯
| Ez a mi ábrázolásunk mellett megfelel a függőleges vetületnek. Az időfüggvényeket tehát úgy származtathatjuk, hogy először vektoraink végpontjait a függőleges tengelyre vetítjük. Utána tetszőleges időpontnak megfelelően a vektorábrát elforgatjuk, és a vektorok végpontjait az új időpontnak megfelelő függőleges rendezőre vetítjük. A vetítést érzékeltetjük a vektorábra mellé, balra rajzolt, stilizált szem-mel. Az eredményt a 22.3.b ábra szemlélteti. Az ábrán ellenőrizhető, hogy minden pillanatértékre érvényesül Kirchhoff huroktörvénye.
| u g (t)= u R (t)+ u L (t)

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Hogyan számítható soros RL kapcsolás eredő impedanciája abszolút értéke?
| Z R L =R+ω⋅L ,
| Z R L ¯ =R+j⋅ω⋅L ,
| Z R L = R 2 + ( j⋅2⋅π⋅f⋅L ) 2 ,
| | Z R L ¯ |= Z R L = R 2 + ( ω⋅L ) 2 ,
| | Z R L ¯ |= Z R L = R 2 + ( ω⋅L ) 2 ,
| Z R L = R 2 − ( ω⋅L ) 2 .
| 2. Mekkora egy soros RL kapcsolás impedanciájának fázisszöge?
| mindig 0°,
| 0° és 90° közé eső érték,
| mindig 90°,
| 0° és -90° közé eső érték,
| mindig -90°.
| 3. Hogyan alakulnak egy szinuszos feszültséggenerátorral táplált soros RL kapcsolás feszültségei a frekvencia növelésével?
| az ellenállás feszültsége nő és a tekercs feszültsége csökken,
| mindkét feszültség nő,
| mindkét feszültség csökken,
| az ellenállás feszültsége csökken és a tekercs feszültsége nő,