KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

23. lecke: Soros RLC kapcsolás, rezgőkör. Rezonancia, rezonanciafrakvencia. Jósági tényező. Feszültség-áram vektorábrák különböző frekvenciákon. Az elemek feszültségeinek és áramának frekvenciafüggése. Az impedancia frekvenciafüggése. Párhuzamos rezgőkör

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| elemezni a soros és a párhuzamos rezgőkört; felírni a rezonancia és a jósági tényező képletét; értelmezni a soros áramkör feszültség-áram vektorábráját.
| Tananyag
| Soros LC kapcsolás
| Kapcsoljunk sorosan egy tekercset és egy kondenzátort (23.1. ábra)!
23.1. ábra
| Tegyük fel, hogy elemeinken egy külső hálózat szinuszos áramot hajt keresztül.
| i(t)= I ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| A kondenzátor és a tekercs látszólagos ellenállása:
| X C = 1 ω⋅C ,
| X L =ω⋅L .
| Az áram az elemeken szinuszosan váltakozó feszültségeket hoz létre, melyek körfrekvenciája az áraméval azonos. A feszültségek amplitúdói számíthatók.
| U ^ C = I ^ ⋅ X C = I ^ ⋅ 1 ω⋅C ,
| U ^ L = I ^ ⋅ X L = I ^ ⋅ω⋅L .
| A képletekben a kapacitás és az induktivitás a két passzív elem felépítéséből származó jellemző. Ezért a két feszültség arányát kizárólag a közös áram körfrekvenciájával tudjuk befolyásolni.
| Ahhoz, hogy a két elem közös eredő feszültségét meghatározzuk, vizsgálnunk kell a részfeszültségek időfüggvényét. A korábbi ismeretek alapján tudjuk, hogy a kondenzátoron a feszültség késik, és a tekercsen a feszültség siet bármilyen szinuszos áram esetén, éspedig pontosan 90°-ot. Ez elegendő az időfüggvények felírásához.
| u C (t)= U ^ C ⋅sin⁡(ω⋅t−90°)=− U ^ C ⋅cos⁡ω⋅t
| u L (t)= U ^ L ⋅sin⁡(ω⋅t+90°)= U ^ L ⋅cos⁡ω⋅t
| Ábrázolva a három időfüggvényt a két feszültség között egy sajátos kapcsolatot láthatunk (23.2. ábra).
23.2. ábra
| A két feszültség pillanatértékei mindig ellentétes előjelűek, egymásból kivonódnak. Kirchhoff huroktörvénye szerint
| u e (t)= u L (t)+ u C (t)
| Az eredő feszültség amplitúdója a két amplitúdó különbsége.
| U ^ e = U ^ L − U ^ C
| Az eredő feszültség koszinuszos, ha a különbség pozitív, és mínusz koszinuszos, ha negatív. Ebben a sajátos esetben sikerült csupán az időfüggvények vizsgálatával feladatunkat megoldani. Természetesen ugyanezt az eredményt kapjuk a komplex számításmód alkalmazásával is.
| A két soros elem eredő impedanciája a részimpedanciák összege.
| Z L C ¯ = Z L ¯ + Z C ¯ =j⋅ω⋅L+(−j⋅ 1 ω⋅C )=j⋅(ω⋅L− 1 ω⋅C )
| Az áram nulla kezdőfázisú, tiszta szinuszos.
| I ^ ¯ = I ^
| A részfeszültségek komplex amplitúdói:
| U ^ C ¯ = I ^ ¯ ⋅(−j⋅ 1 ω⋅C )=−j⋅ I ^ ω⋅C = I ^ ω⋅C ⋅ e (−j 90°)
| U ^ L ¯ = I ^ ¯ ⋅j⋅ω⋅L=j⋅ I ^ ⋅ω⋅L= I ^ ⋅ω⋅L⋅ e j 90°
| Az eredő feszültség komplex amplitúdója:
| U ^ e ¯ = I ^ ¯ ⋅ Z L C ¯ =j⋅ I ^ ⋅(ω⋅L− 1 ω⋅C )= I ^ ⋅(ω⋅L− 1 ω⋅C )⋅ e j 90°
| Az időfüggvények amplitúdói és kezdőfázisai a komplex amplitúdókból kiolvasva előző eredményeinkkel megegyeznek.
| Rezonancia
| Az eredő feszültség komplex amplitúdójának zárójeles kifejezése két látszólagos ellenállás különbségét tartalmazza. A körfrekvencia növekedésével a tekercsé monoton nő, a kondenzátoré monoton csökken. Létezik egy olyan speciális eset, amikor a két látszólagos ellenállás egyenlő, a különbségük nulla. Az így előálló helyzet a rezonancia. Ekkor az ideális tekercs és kondenzátor soros kapcsolása rövidzárként viselkedik. Az az érték amelynél a két elem látszólagos ellenállása megegyezik, a rezonancia-körfrekvencia, jele: ω 0 , értéke a következőképpen számítható:
| ω 0 ⋅L= 1 ω 0 ⋅C
| ω 0 2 = 1 L⋅C
ω 0 = 1 L⋅C
Megjegyzés: A rendszer energia-felvétel nélkül sajátrezgést végez. Hasonló történik, mint a mechanikában egy rugóra függesztett tömeg csillapítatlan rezgése esetén. | Ez az úgynevezett Thomson képlet. Rezonancián az a sajátos helyzet áll elő, hogy miközben a tekercsen is és a kondenzátoron is jól mérhető szinuszos feszültség esik, a két elem eredő feszültsége nulla. Ez azzal is magyarázható, hogy a 23.2. ábrán a kondenzátor és a tekercs feszültségének amplitúdója azonos, pillanatértékeik minden időpontban kivonódva egymásból nullát adnak eredményül.
| Soros RLC kapcsolás
| Az előző, ideális soros rezgőkörhöz képest a gyakorlatban - elsősorban a tekercsek veszteségei miatt - egy soros ellenállással kiegészített modell a megfelelő (23.3. ábra).
23.3. ábra
| Ennek vizsgálatát már csak komplex számításmóddal végezzük el. A kapcsolás eredő impedanciája:
| Z R L C ¯ = Z R ¯ + Z L ¯ + Z C ¯ =R+j⋅ω⋅L+(−j⋅ 1 ω⋅C )=R+j⋅(ω⋅L− 1 ω⋅C )
| Tételezzük fel, hogy továbbra is nulla kezdőfázisú, szinuszos áram folyik az elemeken.
| i(t)= I ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| I ^ ¯ = I ^
| Az egyes elemek feszültségének komplex amplitúdói:
| U ^ R ¯ = I ^ ¯ ⋅R= I ^ ⋅R
| U ^ L ¯ = I ^ ¯ ⋅j⋅ω⋅L=j⋅ I ^ ⋅ω⋅L= I ^ ⋅ω⋅L⋅ e j 90°
| U ^ C ¯ = I ^ ¯ ⋅(−j⋅ 1 ω⋅C )=−j⋅ I ^ ω⋅C = I ^ ω⋅C ⋅ e (−j 90°)
| Az eredő feszültség komplex amplitúdója:
| U ^ e ¯ = I ^ ¯ ⋅ Z R L C ¯ = I ^ ⋅[R+j⋅(ω⋅L− 1 ω⋅C )]= I ^ ⋅ Z R L C ⋅ e j ϕ , ahol
| ϕ=a r c t g ω⋅L− 1 ω⋅C R
| Rezonancia továbbra is az
| ω 0 = 1 L⋅C körfrekvencia mellett áll elő.
| Ilyenkor
| U ^ L ¯ − U ^ C ¯ =0
| U ^ L = U ^ C
| u L C (t)≡0
| Rezonancián impedancia-minimum van, melynek értéke
| Z R L C min⁡ ¯ = Z R L C ( ω 0 ) ¯ =R .
Megjegyzés: sokfrekvenciás, kevert jel fordul elő például rádiótechnikai vevőkészülékek - rádió, TV, mobiltelefon stb. - bemenetén, és sokcsatornás, úgynevezett frekvenciamultiplex kábeles rendszerekben. | Ezért rezonancián alakul ki a legnagyobb áram, feltéve, hogy nem ideális áramgenerátor táplálja a rezgőkört. A soros rezgőkörnek a rezonancia környékén mutatott viselkedését frekvenciaszelektív tulajdonságnak nevezzük. Ugyanis kevert, sok, különböző frekvenciájú szinuszos feszültségből álló táplálás hatására a rezonanciafrekvenciával megegyező, vagy ahhoz közeli frekvenciájú komponensekre kiugróan nagy árammal válaszol. A frekvenciaszelektív tulajdonsággal kapcsolatban szokás a soros rezgőkör jóságát definiálni.
| Jósági tényező
| A jósági tényező jele: Q0. A rezonancia-köfrekvencián mutatott látszólagos ellenállások hányadosával számítható.
Q 0 = ω 0 ⋅L R = 1 ω 0 ⋅C R
| A soros rezgőkör jó, ha Q 0 >>1 .
23.4. ábra
| Vektorábra
| Rajzoljuk meg a soros rezgőkör feszültség-áram vektorábráját (23.4. ábra) rezonanciafrekvencián, ω= ω 0 és Q 0 ≈4 mellett.
| U ^ L ¯ + U ^ C ¯ =0 , mert a két vektor azonos hosszúságú és pontosan ellentétes irányú. Ezért a generátorfeszültség teljes egészében az ellenállásra jut.
| U ^ R ¯ = U ^ g ¯ .
| Az áramot csak az - általában kis értékű - ellenállás korlátozza.
| I ^ ¯ = U ^ g ¯ R , I ^ = U ^ g R .
23.5. ábra
| Frekvenciafüggés
| A soros rezgőkör látszólagos ellenállása a rezonanciafrekvencián kis érték (R), attól távolodva mind a csökkenő, mind a növekvő frekvenciák felé tart a végtelenhez:
| Z R L C = R 2 + (ω⋅L− 1 ω⋅C ) 2
| Létrehozhatunk R L és C elemek párhuzamos kapcsolásával is rezgőkört. Ennek neve párhuzamos rezgőkör. Rezonanciafrekvenciája a soroséval megegyező, de frekvenciafüggése fordított. Ennek látszólagos ellenállása a rezonanciafrekvencián nagy érték (R), attól távolodva mind a csökkenő, mind a növekvő frekvenciák felé tart a nullához.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Szinuszos áramgenerátorral táplált soros LC kapcsolás elemein a feszültség
| időben állandó,
| exponenciális időfüggvényű,
| szinuszos, azonos kezdőfázisú, azonos előjelű,
| szinuszos, azonos kezdőfázisú, ellentétes előjelű, (fél periódussal eltolt szinuszos)
| szinuszos, azonos amplitúdójú.
| 2. A soros LC kapcsolás impedanciája
| tiszta valós,
| tiszta képzetes,
| valós és képzetes részt is tartalmaz,
| 3. Mi a soros LC kapcsolásban a rezonancia feltétele?
| a két elem impedanciája egyenlő,
| a két elem látszólagos ellenállása egyenlő,
| a két elem látszólagos ellenállása szorzata 1,
| a két elem látszólagos ellenállása mértani középértéke 1,
| a két elem impedanciája összege nulla,
| a két elem látszólagos ellenállása összege nulla.
| 4. Hogyan számítható soros LC kapcsolás rezonancia-körfrekvenciája?
| ω 0 =L⋅C ,
| ω 0 = L⋅C ,
| ω 0 = L 2 ⋅ C 2 ,
| ω 0 = 1 L⋅C ,
| ω 0 = 1 (L⋅C) 2 ,
| ω 0 = 1 L⋅C .
| 5. Mi jellemzi a feszültséggenerátorral táplált soros RLC kapcsolást rezonancián?
| árammaximum,
| áramminimum,
| feszültségmaximum,
| feszültségminimum,
| impedancia-maximum,
| impedancia-minimum.
| 6. Mi a soros veszteséges rezgőkör jósági tényezője?
| Q 0 = R ω 0 ⋅C ,
| Q 0 = R ω 0 ⋅L ,
| Q 0 =R⋅ ω 0 ⋅C ,
| Q 0 =R⋅ ω 0 ⋅L ,
| Q 0 = 1 R⋅ ω 0 ⋅C ,
| Q 0 = ω 0 ⋅L R ,
| az eredő impedancia és az ellenállás hányadosa rezonancián.
| az egyik reaktáns elem látszólagos ellenállása és az ellenállás hányadosa rezonancián.
| 7. Mi jellemzi az áramgenerátorral táplált párhuzamos RLC kapcsolást rezonancián?
| árammaximum,
| áramminimum,
| feszültségmaximum,
| feszültségminimum,
| impedancia-maximum,
| impedancia-minimum.